Eine Kugel kann im Raum von genau zwölf gleich großen Kugeln berührt werden, nicht von dreizehn. Über diese Kusszahl 12 stritten schon Isaac Newton und David Gregory im Jahr 1694. Bewiesen haben sie Kurt Schütte und Bartel Leendert van der Waerden 1953.
Die dichteste Packung gleicher Kugeln füllt den Raum zu
η₀ = π / (3√2) ≈ 0,7405
Das ist die Keplersche Vermutung, bewiesen von Thomas Hales. In REM steht an dieser Stelle der Attraktor 3/4. Die Differenz zwischen beiden Werten hat eine klare geometrische Bedeutung: Sie ist die Umarmung selbst.
Die Herleitung
- Dichteste Packung. In der kubisch-flächenzentrierten Packung (FCC) berühren sich die Kugeln im Abstand d = 2r. Auf jede Kugel entfällt das Zellvolumen 4√2 r³. Daraus folgt η₀ = π / (3√2) ≈ 0,7405.
- Aufmaß. Jeder Punkt wächst auf den Radius R = r(1 + ε), die Mittelpunkte bleiben fest. Die Nachbarkugeln durchdringen sich, die Umarmung wird geometrisch.
- Linsen. Zwei Kugeln überlappen in einer Linse mit dem Volumen VL = π(4R + d)(2R − d)² / 12. Jede Kugel hat 12 solche Linsen. Jede Linse gehört zwei Kugeln, also werden pro Kugel 6 Linsen abgezogen.
- Füllung. η(R) = (4/3 · πR³ − 6VL) / (4√2 r³).
- Bedingung. η(R) = 3/4.
- Ergebnis. ε = 0,00432, also R = 1,00432 r: ein Aufmaß von 0,43 %. Die Lücke 3/4 − 0,7405 = 0,0095 ist das Volumen der Umarmung.
R = 1,00432 r · ε = 0,43 % · η = 3/4
These
Der REM-Attraktor 3/4 ist die Füllung eines Raums, in dem sich jeder Punkt mit seinen zwölf Nachbarn um 0,43 % seines Radius umarmt. Das Verschmelzungsmaß Δ₀ der Weltformel erhält damit seine geometrische Größe.
Der nächste Schritt
Der nächste Forschungsschritt prüft in einer Simulation, ob die REM-Rekursion von selbst ein Aufmaß von ε ≈ 0,0043 hervorbringt. Die Grundlagen stehen auf der Seite REM.